Погрешности измерений, обусловленные наведенными помехами и собственными шумами электронных приборов, описываются с помощью математической теории, получившей название "теория случайных процессов". Напомним основные понятия этой теории, которые мы будем использовать в дальнейшем изложении и которые используются ГОСТ 8.009 [ГОСТ] при нормировании случайной составляющей погрешности измерений.

Отличительной чертой случайного процесса является невозможность предсказания его мгновенного значения. Поэтому отдельные реализации случайного процесса описываются случайными функциями , значения которых в любой момент времени являются случайными величинами. Запись мгновенных значений случайного процесса на некоторый носитель информации (например, на жесткий диск компьютера) дает нам только одну реализацию случайного процесса, поскольку его повторные записи в тех же самых условиях показывают совсем другую функцию времени. Набор реализаций случайного процесса называется ансамблем. Невозможность аналитического описания случайных функций времени по причине чрезмерной их громоздкости делает необходимым применение статистического описания случайных процессов.

Случайный процесс называется стационарным, если его статистические характеристики (математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и корреляционная функция) не изменяются с течением времени. Например, мгновенную погрешность средства измерений при постоянной температуре окружающей среды приближенно можно считать стационарным случайным процессом, поскольку среднеквадратическое отклонение и математическое ожидание погрешности не изменяются с течением времени, по крайней мере, в пределах межповерочного интервала.

В дальнейшем мы будем использовать только понятие стационарного эргодического случайного процесса, если иное специально не оговорено. Для эргодического процесса усреднение по ансамблю реализаций можно заменить усреднением по времени на интервале времени . Поэтому математическое ожидание эргодического случайного процесса определяется формулой

,

(4.6)

среднеквадратическое отклонение -

.

(4.7)

автокорреляционная функция -

.

(4.8)

Коэффициент корреляции случайного процесса по определению равен

.

(4.9)

Как видно из определения, функция автокорреляции равна усредненному произведению реализации центрированного случайного процесса (т.е. процесса, из которого удалена постоянная составляющая ) на свою копию, сдвинутую по времени на величину . Поэтому при она равна дисперсии случайного процесса (сравните выражения (4.8) и (4.7)):

.

(4.10)

Если реализация случайного процесса имеет ограниченный по частоте спектр, то при растяжении ее графика во времени наступает момент, когда он начинает выглядеть не как шум, а как извилистая гладкая кривая. Поэтому вероятность того, что при достаточно малом сдвиге значения функции будут различаться сильно, становится пренебрежимо малой. При увеличении сдвига эта вероятность возрастает. Поэтому при малых автокорреляционная функция всегда мало отличается от , а коэффициент корреляции - от единицы.

Часто используется понятие "интервал корреляции" или "время корреляции", под которыми понимается величина временного сдвига , при превышении которого корреляцией можно пренебречь в условиях конкретного эксперимента. Обычно интервал корреляции определяют как .

Рис. 4.1. Коррелированный (вверху) и некоррелированный (внизу) случайный процесс (погрешность измерений)

Если интервал корреляции равен нулю, то случайный процесс называют некоррелированным, или белым шумом. В противном случае случайный процесс является коррелированным. В качестве примера на рис. 4.1 приведен пример коррелированного (вверху) и некоррелированного (внизу) случайного процесса. Реальные процессы все являются коррелированными, поскольку имеют ограниченную мощность и, следовательно, ограниченную полосу частот. Однако на определенном интервале времени (частот) их можно приближенно считать некоррелированными.

Определения (4.6)-(4.9) используются только при теоретическом анализе случайных процессов, поскольку при реальных измерениях значения случайной величины всегда дискретны и количество измерений ограничено. Поэтому вместо математического ожидания, среднеквадратического отклонения и корреляционной функции используют соответствующие им выборочные значения, или оценки соответствующих статистических параметров, которые определяется по формулам:

оценка математического ожидания -

,

(4.11)

оценка среднеквадратического отклонения -

.

(4.12)

оценка автокорреляционной функции -

.

(4.13)

В пределе, при приведенные оценки параметров стремятся к их истинным значениям. В приведенных формулах для оценок параметров и самих параметров использованы одни и те же обозначения, поскольку в дальнейшем мы будем использовать только оценки, если иное не оговорено специально.

Отдельно взятая реализация случайного процесса является детерминированной (неслучайной) функцией, поэтому для нее можно найти спектральную характеристику с помощью преобразования Фурье:

.

(4.14)

Однако функция на практике не используется, поскольку она также сложна в описании, как и . Вместо нее используют понятие спектральной плотности мощности (энергетического спектра):

.

(4.15)

В соответствии с этим определением, спектральная плотность мощности шума измеряется в или , и т. п. Отметим, что в теории случайных процессов понятие мощности отличается от общепринятого: предполагается, что энергия шума выделяется на сопротивлении в 1 Ом, но размерность не указывается, поэтому вместо размерности мощности используется , . Аналогично, энергия измеряется не в , а в .

Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности связаны между собой преобразованием Фурье (теорема Винера-Хинчина [Баскаков]):

;

(4.16)

,

(4.17)

т. е. спектральная плотность мощности является Фурье-изображением корреляционной функции.

Поскольку (см. (4.10)), подставив в формулу (4.16), получим

.

(4.18)

Здесь коэффициент 2 используется, когда нижний предел интегрирования заменяется на 0. Это возможно благодаря тому, что спектральная плотность мощности любого реального случайного процесса описывается четной функцией частоты [Букингем].

Если энергетический спектр лежит в диапазоне частот от >0 до , например, благодаря применению фильтра, то можно считать, что за пределами указанного диапазона частот его значения равны нулю и это позволяет изменить пределы интегрирования в (4.16):

.

(4.19)

При использовании формул (4.16) и (4.19) надо помнить, что в ней применен двусторонний энергетический спектр (симметричный относительно начала оси ординат). В случае одностороннего спектра , заданного в диапазоне частот , коэффициент "2" должен отсутствовать:

.

(4.20)

Это выражение позволяет найти среднеквадратическую погрешность измерения (например, напряжения [Вольт]) в диапазоне частот как

.

(4.21)

В зарубежной справочной литературе на графиках спектральной плотности мощности шума транзисторов, операционных усилителей и др. обычно по оси ординат откладывается корень квадратный из спектральной плотности мощности шума , имеющий размерность , и т. п. В этом случае напряжение шума (среднеквадратическое значение) можно найти как

.

(4.22)

Для белого шума и предыдущее выражение упрощается:

.

(4.23)

Эффективной шириной энергетического спектр называется величина , определяемая по формуле

,

(4.24)

где - максимальное значение функции . Таким образом, эффективной шириной энергетического спектра называют диапазон частот, в котором заключена такая же энергия, как и в диапазоне при условии, что в диапазоне энергия имеет величину и распределена равномерно.

В дальнейшем понятие случайного процесса будет использоваться для описания случайной погрешности измерений.

4.1.4. Коэффициент корреляции

При расчете погрешности измерительного канала возникает задача суммирования погрешностей средств измерений, которые являются случайными величинами. Способ суммирования будет различным в зависимости от того, являются ли случайные величины статистически зависимыми. Понятие статистической зависимости иллюстрируется рис. 4.2: если с ростом одной случайной величины Х в среднем увеличивается (или уменьшается) и вторая (Y), то между этими величинами имеется статистическая зависимость. Для ее количественного описания используется понятие ковариации или коэффициента корреляции.

Рассмотрим суммирование двух случайных погрешностей и с нулевым математическим ожиданием (т. е. центрированных случайных величин). Дисперсия суммы двух случайных величин по определению равна математическому ожиданию квадрата их суммы:

= ,

(4.25)

где и - операторы дисперсии и математического ожидания; , - среднеквадратические отклонения случайных величин и . Величина

(4.26)

называется ковариацией ("совместной вариацией") случайных величин и .

Ковариацию дискретных случайных величин можно оценить по их дискретным значениям и с помощью формулы среднего арифметического:

.

(4.27)

Коэффициентом корреляции называют отношение ковариации к произведению среднеквадратических отклонений и случайных величин и :

.

(4.28)

Когда случайные величины независимы, их коэффициент корреляции равен нулю, [Гмурман] и такие величины называются некоррелированными. Если коэффициент корреляции равен единице , то между величинами и имеется не статистическая, а функциональная зависимость.

Используя понятие среднеквадратического отклонения , уравнение (4.25) можно записать в виде

.

(4.29)

Здесь знак "-" используется когда случайные величины вычитаются, например, если находится разность напряжений двух измерительных каналов. При этом наличие корреляции между каналами частично уменьшает погрешность разности.

В случае, когда случайные величины статистически независимы (), предыдущее выражение упрощается:

.

(4.30)

Такое суммирование называют геометрическим, поскольку оно выполняется аналогично нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника.

Если коэффициент корреляции , то

.

(4.31)

Если коэффициент корреляции равен , то

,

(4.32)

т.е. при нахождении суммы случайных величин отрицательный коэффициент корреляции уменьшает итоговую погрешность, а при нахождении разности - увеличивает.

Если случайные величины не центрированы и имеют математические ожидания и , то коэффициент корреляции можно оценить как

.

(4.33)

На рис. 4.2 показаны примеры статистической зависимости между случайными величинами при сильной (а) и слабой (б) корреляции. Точки на графике (значения случайной величины) могут группироваться очень близко к прямой линии, которая аппроксимирует эту зависимость, и тогда статистическая зависимость приближается к детерминированной. Степень отличия статистической зависимости от детерминированной характеризуют коэффициентом корреляции .

(а)	(б)
Рис. 4.2. Примеры сильной (а), и слабой (б), корреляции случайных величин и . Показана также прямая линия среднеквадратической регрессии

Прямая линия, проведенная таким образом, что сумма квадратов отклонений значений случайной величины от этой линии минимальна, называется линией среднеквадратической регрессии. Тангенс угла наклона линии называется коэффициентом регрессии. Уравнение линии регрессии можно получить методом наименьших квадратов; оно имеет вид [Кремер]

,

где - коэффициент регрессии. Коэффициент регрессии вычисляется через коэффициент корреляции и среднеквадратические отклонения и как

.

(4.34)

Коэффициент корреляции приобретает ясный физический смысл, если статистические переменные центрировать (вычесть математическое ожидание) и нормировать на величину среднеквадратического отклонения. Поскольку среднеквадратические отклонения нормированных величин равны единице, то коэффициент корреляции (4.33) становится равен тангенсу наклона линии среднеквадратической регрессии.

Статистическая зависимость между погрешностями средств измерений в общем случае нелинейная, однако этой нелинейностью обычно пренебрегают.