Энциклопедия АСУ ТП Спонсор проекта: Skip Navigation LinksЭнциклопедия АСУ ТП : 4 Измерительные каналы : 4.3 Динамические измерения Соспонсор:




Робот BotEyes




Промышленные контроллеры RealLab!

4.3 Динамические измерения

Измеряемые физические параметры обычно изменяются с течением времени, поэтому для оценки точности измерений необходимо знать, как зависит погрешность измерений от динамических характеристик измеряемой величины, т.е. какова динамическая компонента погрешности измерений. В пользовательской документации на устройства аналогового ввода, как правило, отсутствует информация, необходимая для оценки динамической погрешности (импульсная, переходная, амплитудно-частотная и фазочастотная характеристика, амплитудно-фазовая или передаточная функция). Несмотря на то, что динамическая погрешность очень часто в несколько раз превышает статическую, ее редко принимают во внимание, поскольку измерить величину этой погрешности технически достаточно сложно и необходимые для этого приборы часто отсутствуют.

Второй проблемой, которая имеет место при вводе аналоговой информации в компьютер или контроллер, является появление алиасных (ложных) частот, которые снижают точность измерений. Опасность этого явления заключается в том, что помехи, лежащие гораздо выше частоты дискретизации, могут трансформироваться в низкочастотную область, если в измерительном канале неправильно выбран или отсутствует антиалиасный фильтр. Антиалиасный фильтр необходим для уменьшения помех на входе средства измерений, однако его наличие приводит к возникновению динамической погрешности.

Ниже описываются причины возникновения динамической погрешности и пути ее оценки.

4.3.1. Теорема Котельникова

В системах автоматизации самой распространенной операцией является дискретизация сигнала по времени. Выбор частоты дискретизации опирается на теорему Котельникова, которая распространяется на любые сигналы с ограниченным спектром. Если спектр сигнала ограничен частотой , то частота отсчетов должна быть в 2 раза выше, чтобы сигнал можно было восстановить без потери информации. Иначе говоря, если самая высокочастотная гармоника в спектре сигнала имеет период , то на один период гармоники должно приходиться 2 отсчета при дискретизации сигнала. При этом непрерывный сигнал преобразуется в импульсный без потери информации.

Отметим несколько особенностей применения теоремы.

Во первых, в теореме Котельникова предполагается, что сигнал будет восстановлен с помощью замены каждого отсчета функцией , т.е.

,

(4.61)

где - интервал между отсчетами, - номер отсчета, - время. Однако на практике такую функцию реализовать невозможно, поскольку ее спектральная характеристика является идеально прямоугольной и для ее получения требуется фильтр с идеально прямоугольной АЧХ. Поэтому восстановление сигнала после дискретизации выполняют с помощью фильтров невысоких порядков.

Во-вторых, сигналы с ограниченным спектром имеют бесконечную протяженность во времени, а реальные сигналы, ограниченные во времени, имеют неограниченный частотный спектр, поэтому разложение их в ряд Котельникова требует пренебрежения частью спектра, лежащего выше частоты .

В-третьих, теорема Котельникова предполагает, что при дискретизации сигнала использованы импульсы бесконечно малой длительности.

Указанные факторы являются причиной того, что на практике частоту дискретизации выбирают в несколько раз выше, чем требуется в соответствии теоремой Котельникова.

Теорема Котельникова позволяет оценить предельную пропускную способность измерительного канала с известной полосой пропускания . Если средство измерений имеет погрешность , то количество различимых уровней при измерении величины будет равно , а количество информации с мерой Хартли [Темников], полученное при однократном измерении, будет равно . Если систематическая составляющая погрешности исключена и преобладает случайная составляющая с дисперсией , то количество различимых уровней следует искать как отношение мощностей, т.е. количество информации будет равно , где - мощность сигнала, - мощность погрешности. Поскольку в соответствии с теоремой Котельникова сигнал со спектром шириной должен быть дискретизирован с частотой 2, чтобы сохранить всю содержащуюся в нем информацию, то для сигнала длительностью потребуется отсчетов. Следовательно, измерительный канал с полосой позволяет передать отсчетов, каждый из которых содержит бит информации, т.е. пропускная способность канала (количество передаваемой информации в единицу времени) составит , бит/с. Величина называется базой сигнала, а - объемом сигнала, - динамическим диапазоном.

4.3.2. Фильтр и динамическая погрешность

Измеряемая величина в системах автоматизации обычно не является постоянной во времени. Поэтому возникает вопрос, насколько медленно она должна изменяться, чтобы погрешность измерения не превышала заданного значения. Для ответа на этот вопрос используется понятие динамической погрешности.

Нормированию динамических погрешностей уделено недостаточно внимания как в нормативной литературе, так и в эксплуатационной документации средств измерений. Так, динамические характеристики, необходимые для оценки динамической погрешности. как правило, отсутствуют в пользовательской документации на модули аналогового ввода, за редким исключением (например, модули аналогового ввода RealLab! серии NL типа NL-8AI содержат необходимую информацию).

Оценка величины динамической погрешности является сравнительно сложным процессом. Проблема возникает потому, что динамическая погрешность зависит не только от динамической модели измерительного канала, но и от формы измеряемого сигнала.

Основными источниками динамической погрешности являются естественная инерционность физических процессов, протекающих в датчиках, процессы заряда входной емкости измерительного устройства, инерционность фильтров, использованных для устранения алиасного эффекта и подавления помех в измерительном канале.

Рис. 4.9. Динамическая модель измерительного канала

Для количественного описания динамических свойств измерительного канала используют линейные динамические модели в виде дифференциальных уравнений, операторных передаточных функций, импульсных переходных характеристик или реакций на единичный скачок, амплитудно-частотные и амплитудно-фазовые характеристики (ГОСТ 8.256 [ГОСТ]). Описание этих моделей может быть указано в эксплуатационной документации на средство измерений. Идентификацию динамической модели средства измерений выполняет его разработчик, используя те же методы, что и при идентификации объекта управления (см. раздел "ПИД-регуляторы").

В некоторых случаях, например, когда уравнения динамической модели пользователю известны, могут быть заданы только коэффициенты уравнений, постоянные времени, время реакции (время установления), коэффициент демпфирования, полоса пропускания по уровню 0,707 и др.

Для модулей аналогового ввода может быть также задана погрешность положения отсчета измеряемого сигнала на оси времени.

Рассмотрим типовую динамическую модель измерительного канала (рис. 4.9), которая включает в себя модели датчика и модуля ввода аналоговых сигналов . Передаточная функция обычно представляет собой произведение передаточных функций антиалиасного фильтра (стоящего до АЦП) и цифрового режекторного фильтра после АЦП. Измерительный преобразователь часто входит в состав модуля ввода.

При проектировании системы автоматизации динамические характеристики ее звеньев можно выбрать так, что инерционность всего измерительного канала будет определяться инерционностью самого медленного звена. Это существенно упрощает процесс оценки величины динамической погрешности. Например, при измерении температуры самым инерционным звеном должен быть датчик (инерционность термопар характеризуется постоянной времени десятки секунд и намного превышает инерционность модуля ввода (доли секунды)).

Рис. 4.10. Синусоидальный сигнал на входе и выходе измерительного канала

Многоканальные средства измерений бывают двух типов: с коммутацией источников сигнала и с параллельно работающими каналами. В первом случае на входе модуля ввода используется аналоговый коммутатор (рис. 4.9), во втором случае коммутатор не используется, а многоканальность достигается применением нескольких одинаковых каналов с одновременно работающими АЦП.

В системе с параллельно работающими каналами можно считать, что сигнал на входе средства измерений действует неограниченно долго. При коммутации каналов сигнал объекта измерений действует, пока ключ коммутатора замкнут. Описание динамической погрешности этих двух типов систем имеет свои особенности.

Измерение при синусоидальном сигнале

Рассмотрим сначала случай, когда входной (измеряемый) сигнал изменяется по синусоидальному закону: (рис. 4.10), а измерительный канал не содержит коммутатора. Считая, что канал линеен, получим на его выходе сигнал , где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) измерительного канала, - фазо-частотная характеристика (ФЧХ) - сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного. Таким образом, погрешность измерительного канала в данном случае состоит из двух компонент: погрешности амплитуды

и погрешности фазы (рис. 4.10) .

Наиболее простые соотношения для оценки указанных погрешностей получаются для случая, когда динамику измерительного канала можно представить моделью первого порядка (фильтром первого порядка):

,

(4.64)

где - граничная частота по уровню . Для нее АЧХ и ФЧХ имеют вид: , .

Поскольку погрешность средств измерений в системах автоматизации, как правило, не превышает 1%, в приведенных соотношениях можно считать , что позволяет разложить нелинейные функции в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя членами разложения. При этих условиях получим

, .

(4.65)

Например, если модуль ввода имеет граничную частоту =5 Гц, то для того, чтобы динамическая погрешность не превышала 0,05%, частота входного сигнала должна составлять не более =0,032% от граничной частоты , т.е не более 0,16 Гц.

Отметим, что оценки (4.65) относятся только к погрешности амплитуды и фазы синусоидального сигнала, но не к погрешности отдельных его отсчетов. Наибольшая погрешность измерения входного сигнала как функции времени будет при . Ее величину можно оценить следующим образом:

,

(4.66)

где - постоянная времени фильтра, - период измеряемого сигнала. Относительная погрешность будет равна

.

(4.67)

Таким образом, для получения динамической погрешности величиной 0,1% при измерении отсчетов синусоидального сигнала в моменты времени частота входного сигнала должна быть в 1000 раз ниже граничной частоты фильтра. Отметим, что погрешность амплитуды (измеренная в моменты времени ) уменьшается в зависимости от частоты по квадратичному закону (4.65), в то время как погрешность в моменты времени - только линейно (4.67).

Измерение при входном сигнале "единичный скачок"

Если входной сигнал изменяется скачком, то для измерительного канала, который описывается моделью первого порядка (4.64) и не содержит коммутатора, реакцию на скачок можно получить с помощью преобразования Лапласа. Для этого в выражении (4.64) можно вместо использовать комплексную частоту [Баскаков] и умножить (4.64) на изображение единичного скачка (по Лапласу). Переходя от изображения к оригиналу с помощью обратного преобразования Лапласа, получим сигнал на выходе измерительного канала как функцию времени:

,

(4.68)

где , - значение при .

Поскольку точное значение единичного скачка , погрешность измерений с течением времени будет уменьшаться по экспоненциальному закону:

, откуда .

(4.69)

Например, для получения относительной динамической погрешности 1% измерение нужно делать не раньше чем через после подачи измеряемого сигнала. Для получения погрешности 0,05% задержка перед измерением должна быть не менее .

Измерение сигнала произвольной формы

В случае, когда измеряемый сигнал имеет произвольную форму , выражение для в общем случае имеет вид свертки входного сигнала и импульсной характеристики измерительного канала [Попов]:

,

(4.70)

где - переменная интегрирования.

Импульсная характеристика является реакцией измерительного канала на входной сигнал в форме дельта-функции Дирака . Вместо импульсной характеристики можно использовать реакцию на единичный скачок , при этом выражение для запишется в виде и нтеграла Дюамеля [Попов]

.

(4.71)

К сожалению, более простого выражения не существует и интегралы (4.70) и (4.71) нужно брать для каждой конкретной формы входного сигнала . Сделать это аналитически, как правило, невозможно. Наиболее удобным способом является численное интегрирование или моделирование, например, с помощью программ Matlab, MathCAD.

Однако для многоканальной системы сбора данных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 4.9) получить приближенное выражение для динамической погрешности в общем случае, независимо от формы сигнала на входе системы, возможно. Для этого воспользуемся тем, что отсчеты входного сигнала в системах сбора данных берутся обычно так часто, что при разложении функции в ряд Тейлора на интервале между отсчетами можно ограничиться линейным членом разложения (4.5). Иначе говоря, при произвольной форме входного сигнала и достаточно высокой частоте дискретизации функцию можно аппроксимировать прямой линией на участке (рис. 4.124), где - момент замыкания ключа входного коммутатора; - момент появления сигнала на выходе модуля ввода:

, .

(4.72)

Максимальную погрешность такой аппроксимации можно оценить по величине третьего члена ряда Тейлора

,

(4.73)

Рис. 4.124. Сигнал после коммутатора () и на выходе модуля ввода ()

где точка выбирается на интервале таким образом, чтобы величина второй производной в ней была наибольшей. В частности, если входной сигнал описывается линейной зависимостью, то для него для всех точек интервала .

Рассмотрим сначала случай с фильтром первого порядка, когда передаточная функция описывается выражением (4.64). Импульсную характеристику фильтра можно получить с помощью обратного преобразования Лапласа от выражения (4.64), в котором переменная заменена на комплексную частоту :

.

(4.74)

Подставляя (4.74) и (4.72) в (4.70), получим выражение для функции на интервале :

= .

(4.75)

Вычитая из полученного выражения сигнал на входе (4.72), получим величину абсолютной погрешности в виде

.

(4.76)

Таким образом, при достаточно большом (точнее, при ) абсолютная динамическая погрешность не приближается к нулю, а остается постоянной, равной . При малых , на начальном участке переходного процесса, погрешность экспоненциально уменьшается с течением времени.

Пользуясь выражением (4.76), можно записать выражение для приведенной погрешности

,

(4.77)

где - верхняя граница диапазона измерений; . Используя обозначение в (4.72), получим:

.

(4.78)

Из этой формулы виден физический смысл параметра : это время, за которое входной сигнал проходит интервал от до при условии, что он сохранит линейность на этом интервале.

Отметим, что при выражение (4.77) совпадает с (4.67), а при - с (4.69).

Графики зависимости модуля динамической погрешности от времени, построенные по выражению (4.77) при , показаны на рис. 4.125. Например, если постоянная времени фильтра первого порядка равна 1 с, то для того, чтобы динамическая погрешность не превышала 0,1%, отношение должно быть не более 0,001 (см. рис. 4.125), откуда >1000, т.е. скорость нарастания входного сигнала должна быть такой, чтобы интервал от до был пройден за время не менее 1000=1000 с. Если уравнение (4.78) нормировать на , чтобы перейти к относительным величинам ,

,

(4.79)

то можно сказать, что скорость нарастания входного сигнала должна быть не более 0,001 , или 0,1 .

Аналогичное соотношение можно получить для фильтра второго порядка с передаточной функцией .

Выражение для приведенной погрешности будет иметь вид

.

(4.80)

При , как и в системе первого порядка, погрешность стремится к постоянной величине .

Можно показать, что для фильтра -го порядка, описываемого полиномом вида , погрешность стремится к величине при .

Таким образом, для многоканальной системы сбора данных с одним АЦП и коммутацией входных каналов (рис. 4.9) динамическая погрешность измерений не зависит от формы измеряемого сигнала и ее величину можно оценить по графику на рис. 4.125 или формуле (4.77).

Рис. 4.125. Зависимость модуля динамической погрешности от времени при и для модуля ввода с фильтром первого порядка


© RLDA Ltd. info@rlda.ru  Рейтинг@Mail.ru Спонсоры проекта: , а также