Энциклопедия АСУ ТП Спонсор проекта: Skip Navigation LinksЭнциклопедия АСУ ТП : 5 ПИД-регуляторы : 5.1 Идентификация динамических моделей : 5.1.3 Частотная идентификация Соспонсор:




Робот BotEyes




Промышленные контроллеры RealLab!

5.1.3. Частотная идентификация в режиме релейного регулирования

Идентификация с помощью широкополосных сигналов, к которым относятся единичный скачок и прямоугольный импульс, не позволяет получить достаточно достоверные результаты в условиях сильных шумов и жестких ограничений на энергию сигнала. Гораздо более высокую точность при малой амплитуде позволяет получить воздействие узкополосным сигналом, в качестве которого используют отрезок синусоидального сигнала (рис. 5.12-г). С ростом числа периодов сужается ширина спектра и растет спектральная плотность такого сигнала на частоте колебаний. Благодаря этому появляется возможность использовать узкополосный фильтр для выделения сигнала на фоне помех, что резко повышает достоверность идентификации. Однако при использовании фильтра перед измерением необходимо дождаться окончания переходного процесса, который тем длиннее, чем выше добротность фильтра. Это существенно увеличивает общее время на проведение экспериментов, тем более, что измерения выполняют для нескольких разных частот. Для ускорения процесса можно использовать тестовое воздействие в виде суммы гармонических колебаний с разными частотами, которые затем выделяют несколькими узкополосными фильтрами. Существенным недостатком этого метода является большое время идентификации. Поэтому его чаще используют только для измерения коэффициента передачи и фазового сдвига на частоте , а для идентификации других параметров объекта используют широкополосные тестовые сигналы.

Метод частотной идентификации в замкнутом контуре с релейным регулятором является самым распространенным в коммерческих ПИД-регуляторах с автонастройкой [Bertocco, Astrom, Cai]. Этот метод очень давно известен в микроэлектронике как метод кольцевого генератора. Он использует свойство замкнутой динамической системы с отрицательной обратной связью генерировать незатухающие колебания на частоте фазового сдвига -180˚ при петлевом усилении .

Основная идея метода

Рассмотрим систему с отрицательной обратной связью, состоящую из релейного регулятора и объекта управления (рис. 5.18). Здесь регулятор имеет два значения выходной величины :

.

(5.19)

Рис. 5.18. Система с релейным регулятором в контуре регулирования для оценки параметров и

Гармонический сигнал, проходя через объект управления, изменяет свою амплитуду и фазу (рис. 5.13, рис. 5.14). Поскольку на входе объекта присутствует шум, в его спектре всегда найдутся такие гармонические составляющие с частотой , которые, пройдя через объект управления, появятся на его выходе с той же частотой , но с отставанием по фазе на 180˚ от соответствующей входной составляющей. Если этот сигнал с выхода объекта опять подать на его вход с помощью отрицательной обратной связи, то общий фазовый сдвиг в петле с обратной связью составит уже 360˚, т. е. на частоте обратная связь в системе из отрицательной превращается в положительную. Это приводит к нарастанию циркулирующего по петле сигнала при петлевом усилении или его затуханию при . Нарастание сигнала в некоторый момент начинает ограничиваться, например, нелинейностью типа насыщения, и тогда в системе устанавливаются стационарные колебания. При этом эффективный коэффициент усиления, найденный по первой гармонике колебаний на частоте , становится равным единице: (т. к. после установления стационарных колебаний сигнал больше не усиливается).

Таким образом, в рассмотренной системе возникают незатухающие колебания, когда усиление по контуру с обратной связью (петлевое усиление) равно единице на частоте фазового сдвига в объекте 180˚. В нелинейной системе петлевое усиление на малом сигнале может быть больше единицы до момента, когда колебания установятся. В контуре регулирования с идеальным релейным регулятором (рис. 5.18) усиление до начала колебаний равно бесконечности. Поэтому колебания возникают всегда, если фазо-частотная характеристика включает в себя точку со сдвигом фазы 180˚.

Большинство объектов управления, не имеющих транспортной задержки, относятся к минимально-фазовым объектам, у которых существует однозначная связь между амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристикой. Объект управления является минимально-фазовым, если его операторная передаточная функция не имеет нулей в правой полуплоскости комплексного переменного. В частности, минимально-фазовыми являются все описанные в п. "Модели объектов управления" модели, если у них транспортная задержка равна нулю.

Рис. 5.19. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика объекта первого порядка, ,

Рис. 5.20. Фазо-частотная характеристика объекта первого порядка без транспортной задержки (штриховая линия) и с ней (сплошная линия)

Обычно АЧХ строят в логарифмическом масштабе по обеим координатным осям и называют диаграммами Боде. При этом наклон линейных участков АЧХ измеряют в децибелах на декаду (дБ/дек). Например, объект первого порядка (5.5) имеет наклон АЧХ -20 дБ/дек (рис. 5.19) и при этому наклону взаимно однозначно соответствует максимальный фазовый сдвиг -90˚ при (рис. 5.20, пунктирная линия). Объект второго порядка (5.9) имеет наклон АЧХ -40 дБ/дек и ему соответствует максимальный фазовый сдвиг -180˚ при (рис. 5.13). Для объекта третьего порядка наклон АЧХ равен -60 дБ/дек и фазовый сдвиг -270˚.

Из изложенного следует, что система регулирования с объектом первого порядка без транспортной задержки всегда устойчива, даже в контуре с релейным регулятором. Система с объектом второго порядка может быть неустойчивой при . Система с объектом третьего порядка и система любого порядка с транспортной задержкой в контуре с релейным регулятором всегда находится в режиме автоколебаний.

Поэтому проектирование объекта управления нужно выполнять совместно с проектированием регулятора для него. Например, некоторые системы термостатирования используют нагревательный элемент в виде тонкой проволочки, через которую продувается воздух. Такая система имеет первый порядок передаточной функции и даже релейный регулятор для нее дает хорошее качество регулирования.

Система с объектом первого порядка перестает быть устойчивой, если в передаточную функцию добавляется транспортная задержка. При этом объект перестает быть минимально-фазовым и, несмотря на то, что наклон АЧХ остается равным -20 дБ/дек (рис. 5.19), в системе возникают колебания, поскольку фазовый сдвиг транспортной задержки растет неограниченно с ростом частоты и на частоте достигает -180˚ (рис. 5.20, сплошная линия).

Рис. 5.21. Сигнал на входе (прямоугольные импульсы) объекта с передаточной функцией, показанной на рис. 5.13, рис. 5.14, и на его выходе (сплошная линия)

Рис. 5.22. Задающее воздействие (скачок) и форма сигнала на выходе замкнутой системы первого порядка в линейном режиме (сплошная линия) и с релейным регулятором (штриховая линия)

Поскольку в реальном объекте вследствие его пространственной протяженности всегда появляется (небольшая) транспортная задержка, в любой системе с релейным регулятором возникают колебания, однако их амплитуда на выходе объекта может быть пренебрежимо малой вследствие резкого снижения коэффициента передачи объекта с ростом частоты (см. рис. 5.19).

Таким образом, замкнутый контур с объектом управления и релейным регулятором позволяет найти частоту для объекта любого порядка, поскольку она равна частоте автоколебаний в такой системе. Найдем теперь коэффициент передачи объекта на этой частоте. К сожалению, его можно найти только приближенно, поскольку на вход объекта в системе с релейным регулятором воздействует последовательность прямоугольных импульсов, которая получается после прохождения сигнала обратной связи через релейный регулятор. Приближенный метод расчета основан на разложении входной последовательности прямоугольных импульсов в ряд Фурье с отбрасыванием всех гармоник, кроме первой. Возможность замены последовательности прямоугольных импульсов их первой гармоникой основана на том, что объекты с передаточными функциями вида (5.4) - (5.9) являются фильтрами, ослабляющими высшие гармоники. Поэтому серия прямоугольных импульсов, пройдя через такой объект, становится очень близкой к синусоидальному сигналу (рис. 5.21). Это позволяет считать, что после разложения входного сигнала в ряд Фурье через объект проходит только первая гармоника, а остальные подавляются.

Если размах прямоугольных импульсов на входе объекта равен , то амплитуда первой гармоники этих импульсов, как известно из курса радиотехники, равна . Если обозначить амплитуду первой гармоники сигнала на выходе объекта через , то искомый коэффициент передачи системы на частоте будет равен отношению амплитуды на выходе к амплитуде на входе:

.

(5.20)

Пример. Рассмотрим АЧХ (рис. 5.13) и ФЧХ (рис. 5.14) объекта второго порядка вида (5.16). Из графика на рис. 5.14 можно найти частоту , а по рис. 5.13 - коэффициент передачи объекта на этой частоте . Т. е. при включении такого объекта в контур с релейным регулятором получим колебания с частотой при усилении .

Рис. 5.23. Форма колебаний при асимметричной релейной функции: , ,

Рис. 5.24. Сравнение различий между переходными характеристиками и колебаниями в двух системах второго порядка с параметрами , , (кривые 1) и , , (кривые 2)

Примерно эти же значения можно получить из эксперимента с релейным регулятором, по формуле (5.20), если из графиков на рис. 5.21 найти значения амплитуды на выходе и входе , а затем по формуле (5.20) рассчитать значение . Значение частоты можно найти непосредственно по графику на рис. 5.21. Т.о., приближенная формула в данном случае дает достаточно низкую погрешность (около 4%).

Для объекта первого порядка с транспортной задержкой и постоянной времени () из рис. 5.20 можно найти , из рис. 5.19 - . Форма колебаний в системе с релейным регулятором показана на рис. 5.22, штриховая линия. Особенностью объекта первого порядка является существенное отличие формы колебаний от синусоидальной, что делает слишком грубым ее аппроксимацию первой гармоникой ряда Фурье, которая была использована при получении формулы (5.20). Для устранения этой проблемы вместо релейного регулятора можно использовать линейный усилитель, чтобы не искажать форму сигнала в системе. Тогда форма колебаний становится близкой к синусоидальной (рис. 5.22), сплошная линия. Такая колебательная система дает довольно точные значения и . Однако для обеспечения режима, близкого к линейному, петлевое усиление должно быть равно 1, т.е. усилитель должен обеспечит усиление в раз, где параметр априори неизвестен. Это является основным недостатком метода колебаний в линейном режиме.

Важным условием, которое нужно соблюдать при использовании идентификации в режиме релейного регулирования, является симметричность уровней и относительно уровня сигнала , при котором (см. рис. 5.18), т.е. должно выполняться условие . В противном случае скорости нарастания сигнала выше уставки и спада ниже нее будут сильно различаться, а форма колебаний в системе будет существенно отличаться от синусоидальной (рис. 5.23), что приведет к высокой погрешности данного метода.

Аналогичный эффект искажения формы колебаний возникает и в системах более высокого порядка, если транспортная задержка превышает наибольшую постоянную времени. С ростом задержки колебания становятся сначала треугольными, затем приближаются к трапецеидальным и прямоугольным. Это объясняется тем, что с ростом транспортной задержки реакция объекта на каждый из фронтов сигнала на выходе реле приближается к форме реакции на функцию единичного скачка (рис. 5.17). В частотной области указанный эффект объясняется тем, что с ростом задержки точка на рис. 5.19 и рис. 5.20) смещается влево, т.е. фильтрующие свойства объекта ухудшаются и он транслирует прямоугольный входной сигнал на свой выход с меньшими искажениями.

Рис. 5.25. Ложные переключения реле вследствие шума

Для иллюстрации высокой разрешающей способности описанного метода на рис. 5.24 приведены процессы в двух моделях, у которых переходные характеристики различаются слабо, однако частоты колебаний в контуре с релейным регулятором отличаются в 4 раза. Благодаря узкой полосе сигнала он может быть эффективно выделен на фоне шумов (рис. 5.25), например, методом наименьших квадратов.

Описанный метод частотной идентификации позволяют получить только одну точку передаточной функции объекта, т.е. два параметра, которых недостаточно для нахождения трех параметров ПИД-регулятора. Поэтому используют дополнительное соотношение (см. п.5.6.3), которое позволяет найти третий параметр.

Чтобы получить и другие точки АЧХ, используют реле с гистерезисом или фильтры, сдвигающие точку в сторону более низких частот.

Рассмотрим эти методы подробнее.

Изменение частоты колебаний с помощью интегратора

Для того чтобы в системе с релейным регулятором возникли колебания на частоте, существенно отличающейся от , в нее можно ввести интегратор (рис. 5.26) [Wei], который имеет передаточную функцию , где - произвольный нормировочный множитель. На рис. 5.26 после интегратора показан линейный ограничитель, отражающий наличие ограничений на входной сигнал объекта. Желательно выбирать , тогда размах колебаний треугольной формы на выходе интегратора будет точно равен размаху прямоугольных импульсов на выходе реле. Однако, поскольку частота априори неизвестна, а выбор влияет только на амплитуду колебаний в системе, величину можно выбирать примерно в несколько (3...10) раз ниже ранее найденной частоты . Чем больше транспортная задержка , тем меньше будет расстояние между точками и .

Рис. 5.26. Система с релейным регулятором и интегратором для оценки параметров и

Модуль передаточной функции интегратора имеет наклон - 20 дБ на декаду, а фазовый сдвиг не зависит от частоты и равен -90˚. Поэтому колебания в системе возникают на частоте (рис. 5.14, рис. 5.20), когда сдвиг фаз в объекте управления составит -90˚ (поскольку суммарный сдвиг в интеграторе и объекте составит -180˚). Получив из эксперимента частоту , можно найти модуль передаточной функции на этой частоте по той же формуле (5.20), что и для . Однако точность расчета можно повысить, если воспользоваться тем, что на выходе интегратора получаются треугольные импульсы, для которых легко найти амплитуду первой гармоники ряда Фурье , где - половина размаха треугольных импульсов. Интегрируя сигнал, поступающий на входе интегратора, можно получить, что , где - половина размаха прямоугольных импульсов на выходе реле, . Поэтому амплитуда первой гармоники сигнала на входе объекта будет равна , откуда коэффициент передачи объекта на частоте можно найти в виде

,

(5.22)

где и имеют тот же смысл, что и в (5.19).

Формула (5.22) дает довольно точные результаты. Для системы 2-порядка (5.16) расчет по формуле (5.22) на основании данных, полученных при моделировании системы, дает значения , , а точный расчет дает , . Для системы 1-го порядка (рис. 5.19, рис. 5.20) расчет по формуле (5.22) дает , при точных значениях и , а расчет по более грубой формуле (5.20) дает .

Изменение частоты колебаний с помощью генератора

Для исключения погрешности формулы (5.20), связанной с усечением ряда Фурье, в работе [Wang] предлагается вместо интегратора на рис. 5.26 использовать генератор синусоидальных колебаний с амплитудой, равной амплитуде первой гармоники прямоугольных импульсов на входе реле:

,

(5.23)

где - половина размаха колебаний на выходе реле, - частота колебаний в системе. Поскольку частота априори неизвестна, ее определяют итерационным путем. Сначала убирают из системы генератор (5.23) и находят частоту колебаний в нулевом приближении. Для этого используют 2...3 периода колебаний в системе. Затем полученное значение частоты подставляют в формулу (5.23) и находят колебания в системе с генератором. Полученное значение частоты опять подставляют в формулу (5.23). Несколько таких итераций позволяют получить точное значение частоты.

Изменение частоты колебаний с помощью гистерезиса

Если в системе на рис. 5.26 использовать реле с гистерезисом, то частоту колебаний можно понизить. Объясняется это тем, что при подаче сигнала на вход реле с симметричным относительно нуля гистерезисом шириной на выходе реле появляется сигнал с задержкой , обусловленной тем, что для срабатывания реле синусоидальный сигнал на входе должен достичь уровня или . Непосредственно из функции , где - частота колебаний в системе с гистерезисом, можно найти задержку, связанную с гистерезисом: . Понизив с помощью гистерезиса частоту колебаний и измерив ее, можно найти коэффициент передачи объекта на этой частоте по той же формуле (5.20).

Более подробное рассмотрение процессов в системе с гистерезисом можно найти в работе [Гёльднер].

Недостатком двух последних методов, позволяющих получить точки между и . является невозможность задать заранее требуемую частоту.

Определение порядка объекта

Методы, описанные выше, дают достаточно информации, чтобы оценить в некоторых случаях порядок объекта управления. Пусть объект описывается передаточной функцией

.

(5.24)

Предположим, что в (5.24) все постоянные времени дают частоты, которые много меньше частоты , т.е.

.

(5.25)

Тогда в окрестности частоты можно пренебречь единицей по сравнению с , и, беря логарифмы от модуля левой и правой части (5.24), получим: .

Если с помощью описанных выше методов удалось получить две точки АЧХ () и (), то записывая последнее равенство для этих двух точек, получим систему уравнений, из которой можно найти порядок знаменателя передаточной функции объекта управления :

.

(5.26)

Частота должна быть как можно ближе к , поскольку наклон нужно искать в окрестности частоты , однако достаточно далеко, чтобы разность частот была много больше погрешности их измерения.

Недостатком данного метода является то, что в случае, когда передаточная функция объекта имеет нули, описанный метод дает разность порядков знаменателя и числителя, но не порядок знаменателя.

Заключительные замечания

Описанный выше метод релейной идентификации и его модификации являются в настоящее время самыми распространенными в ПИД регуляторах с автоматической настройкой. Это объясняется следующим достоинствами метода:

  • всегда дает результат;
  • имеет высокую разрешающую способность;
  • не требует сложных вычислений;
  • дает результат в рабочей точке.

Метод обладает следующими недостатками:

  • не справедлив для большой задержки, когда метод расчета коэффициента передачи дает большую ошибку;
  • самостоятельно может использоваться только для очень грубой настройки. В общем случае должен комбинироваться с другими, уточняющими методами идентификации.

© RLDA Ltd. info@rlda.ru  Рейтинг@Mail.ru Спонсоры проекта: , а также